ESTADISTICA GENERAL

MATERIAL DEL PRIMER CORTE

CONTENIDO PROGRAMATICO ADMINISTRACIÓN
ASIGNATURA: ESTADISTICA GENERAL (URBE)
UNIDAD I
1.- INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
2.- DEFINICIONES DE TÉRMINOS BÁSICOS
1. Estadística
2. Estadística Descriptiva e Inductiva
3. Población
4. Unidad Estadística
5. Población estadística
6. Datos Estadísticos
7. Parámetros
8. Muestra aleatoria
9. Estadístico o estadígrafo
10. Variables estadísticas
10.1 Variable cuantitativa
10.2 Variable cualitativa
10.3 Variable continua
10.4 Variable discreta o discontinua
11. Relación de la estadística con otras ciencias de la investigación
3.- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
3.1. Definición
3.2. Elementos de una tabla de distribución de frecuencia
3.2.1. Intervalo de Clase
3.2.2. Frontera de clase
3.2.3. Punto Medio de Clase
3.2.4. Frecuencia Absoluta
3.2.5. Frecuencia Absoluta Acumulada
3.2.6. Frecuencia Relativa
3.2.7. Frecuencia Relativa Acumulada

4.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
4.1. Histograma de Frecuencia
4.2. Polígono de Frecuencia
4.3. Ojiva
4.4. Diagrama circular
4.5. Pictograma
5.- MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL
5,1. Media aritmética
5.2. Mediana
5.3. Moda

Para datos agrupados y no agrupados

6. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN
6.1. Varianza
6.2. Desviación estándar
Para datos agrupados y no agrupados
UNIDAD II

7. PROBABILIDADES , AXIOMA OTEOREMAS PROBABILIDADES
1. Probabilidades. Definiciones básicas
2 Teorema de la Adición
3. Teorema de la probabilidad Condicional
4. Distribución de Probabilidades
4.1. Binomial
4,2 Poisson
4.3. Normal
4.4. t - Student

8. REGLA DE BAYES

UNIDAD III

9. TEORIA DEL MUESTREO
1. Tipos de muestreo
2. Teorema del limite central
3. Distribución muestral para la media
4. Distribución muestral para la proporción
5. Estimación de intervalo para la media
6. Estimación de intervalo para la proporción poblacional
7. Tamaño muestral para asignación de medias y proporción poblacional
8. Prueba de hipótesis para media y proporción poblacional

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN(B213.M221.R331, P212, P223. B212.)
EVALUATIVO Nª UNIDADES ESTRATEGIAS PESO
1 I y II EXAMEN ESCRITO 30%
2 II EXAMEN ESCRITO 35%
3 III EXAMEN ESCRITO 35%

BIBLIOGRAFIA

Autor: Francisco Gómez Rondón
Titulo: Estadísticas Metodológica, Edición fragor, 1993.

Autor: Bowker, A y Lieberman
Titulo: Estadísticas para Ingenieros

Autor: Canavos, Geoorge
Titulo: Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos

Autor: Walpole, R y MEYERES, R
Titulo: Probabilidad y Estadística para Ingenieros

Autor: Allen L. Webster, Edición Mc Grawhill, tercera Edición
Titulo: Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía año 2000

MATERIAL DEL PRIMER CORTE
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
Cuando usamos el término estadística pensamos inmediatamente en la recolección de datos de eventos, experimentos o acontecimientos que se suceden en el tiempo que nos permiten de acuerdo a su comportamiento, analizarlos y tomar decisiones en función de los mismos e incluso se pueden estimar y pronosticar fenómenos futuros, por ejemplo si queremos diseñar una represa que ha de canalizar agua, una de las variables relevantes en el mismo es el flujo de agua, los niveles del embalse, que nos permite definir la geometría de la represa en función de datos del fluido en sitio recolectados y analizados por años.
si queremos predecir el comportamiento de la calidad de una materia prima determinada, su demanda en años futuros, debemos fundamentar el pronóstico en el comportamiento y análisis de datos que al respecto han sido compilados y analizados con anterioridad; cuando se diseña un puente o un elevado vial se supone que el proyecto se realiza por la necesidad de aliviar un caos vial que se produciría producto del aumento acelerado de adquisición de vehículos en el estado, todo esto se predice a través de la estadística, si deseáramos definir la estadística tendríamos que concluir diciendo que es la que se encarga de recibir información por diferentes vías, recopilarla, analizarla y al final tomar decisiones para resolver un problema determinado a la sociedad..

1.- DEFINICIONES DE TÉRMINOS BÁSICOS
a) Estadística
Existen varias definiciones según Pedro Reyes (1980); La estadística es el arte y la ciencia de recoger datos o reunir observaciones cuantificables (medibles o numéricas) y clasificables; es decir, susceptibles de ser estudiadas, tabuladas e interpretadas

b) Tipo de Estadística
Estadística descriptiva: Comprende el tratamiento y el análisis de datos que tienen por objeto resumir y describir los hechos que han proporcionado la información apropiada. Por lo general toman forma de tablas, gráficos, cuadros e índices.
Estadística inferencial o inductiva: Su objetivo es extraer conclusiones útiles sobre la totalidad de todas las observaciones posibles de que se trata, basándose en la información recolectada.
c) Población:
Es la totalidad de posibles unidades estadísticas (personas, animales, cosas, entre otras) que se estén considerando en una situación dada y que poseen algunas características común.
d) Unidad Estadística:
Se llama unidad estadística a cada uno de los elementos componentes de la población en estudio
e) Población Estadística:
Es aquella que esta constituida por todas las observaciones posibles de una (o mas) característica (s) cuantificable (s) determinada (s) en cada una de las unidades estadísticas
f) Datos Estadísticos:
Cada observación recolectada efectivamente es un dato estadístico
g) Parámetro:
Las características de una población se denominan parámetros
h) Muestra aleatoria:
Es un subconjunto de la población estadística tal que cada elemento de ésta tenga la misma posibilidad de ser seleccionada.
i) Estadístico o estadígrafo:
Las características de una muestra se denominan estadístico
j) Variables estadística:
Variable cuantitativa: Es aquella para la cual las observaciones resultantes pueden medirse porque poseen un orden o un rango natural.
Es aquella en la cual las diversas modalidades son medibles o numerables. Ejemplo estatura, peso, entre otros.
Variable cualitativa: Es aquella para la cual no es posible hacer mediciones numéricas.
Es aquella en la cual sus modalidades no son medibles.
k) Variables continua:
Es aquella que puede presentar cualquier valor dentro de cierto intervalo.
Es aquella que se puede medir con la precisión que se desee, dependiendo del instrumento que se use para realizar dicha medición.
Es aquella q tiene la propiedad de que entre dos cualesquiera valores observables(potencialmente), hay otro valor observable (potencialmente)
Ejemplo: estatura, peso, longitud, edad, temperatura, entre otros.
l)Variable discreta o discontinua: Es aquella para la cual los valores posibles no se pueden observar en una escala continua debido a la existencia de espacios entre estos posibles valores.
Es aquella que tiene la propiedad de que entre dos cualesquiera valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente)
Ejemplos: El número de personas por hogar, las unidades de un articulo en un inventario, el número de componentes que se han encontrado defectuosos
l) Relación de la estadística con otras ciencias de la Investigación
No se puede dudar de la importancia de la Estadística en todos los ámbitos es utilizada en Ingeniería, Física, Química, Biología, Medicina, Astronomía, Psicología, Sociología, Lingüística, Demografía, etc. Así que podemos asegurar que la estadística se usa siempre que se requiera recolectar datos, organizarlos y analizarlos para tomar decisiones a corto, mediano o largo plazo.
2.- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
1. Definición:
Una distribución de frecuencia es una tabla en la cual se agrupan los valores posibles para una variable y se registra el número de valores observados que corresponde a cada clase.
Los datos organizados en la distribución de frecuencia se denominan datos agrupados. Para los no agrupados se enumeran todos los valores observados de la variable aleatoria.
2. Elementos de una tabla de distribución de frecuencia
2.1. Número Deseado de Clase
2.2. Intervalo de Clase
2.3. Frontera de clase
2.4. Punto Medio de Clase
2.5. Frecuencia Absoluta
2.6. Frecuencia Absoluta Acumulada
2.7. Frecuencia Relativa
2.8. Frecuencia Relativa Acumulada

ELEMENTOS PREVIOS IMPORTANTES
2.1. NDC =Número Deseado de clases
NDC = 1 + 3,3Log(n) fórmula de Sturges
AIC= Amplitud del Intervalo de Clases
AIC = Valor Mayor de la Tabla – Valor Menor de la Tabla
Número Deseado de Clases. (NDC)

2.2. Intervalo de Clase: Se halla restando, 1 al número menor de toda la tabla(población), al restar, el resultado se coloca en la columna del Intervalo de Clases(IC), en el Limite Inferior(LI) luego a este número se le suma la Amplitud del Intervalo de Clases(AIC) y se coloca a la derecha en el Limite Superior(LS), a este resultado se le suma 1 y se coloca del lado izquierdo(LI) y así sucesivamente. Y se denotara con las siglas IC
2.3. Frontera de clase: Se halla restando 0.5 al límite inferior(LI) y sumando 0.5 al límite superior(LS). Y se denotara con las siglas FC
2.4. Punto Medio de Clase: Se halla sumando el LI al LS y dividiéndolos entre 2. Y se denotara con las siglas PMC
2.5. Frecuencia Absoluta: Es el número de observaciones contenidas entre cada Intervalo, y la denotaremos por f
2.6. Frecuencia Absoluta Acumulada: Se repite el primer número de la Frecuencia Absoluta(f) y luego se suma en zig – zag, y se denotará con la letra F
2.7. Frecuencia Relativa: Se halla dividiendo cada uno de los elementos de la Frecuencia Absoluta entre el número total de observaciones, y se denotará con la letra Fr
2.8. Frecuencia Relativa Acumulada: Se repite el primer número de la Frecuencia Relativa(Fr) y luego se suma en zig – zag, y se denotará con la letra Fra
3.- REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
1. Histograma de Frecuencia:
Un histograma de frecuencia o Diagrama de Barras, es un diagrama de frecuencia univariante en la cual se levanta, en segmentos del eje horizontal, rectángulos que tienen:
a) Sus bases sobre un eje horizontal con centro en las marcas de clases y longitud igual a la amplitud de la clase.
b) Área proporcionales a sus frecuencias de clase
La frontera de clase(FC) se colocan usualmente a lo largo del eje horizontal del diagrama, mientras que el número de observaciones se enumera a lo largo de eje vertical(f)
2. Polígono de Frecuencia:
Es un diagrama que muestra la forma de una distribución de frecuencia; las frecuencias son medidas en ordenadas y los valores de la variante en la abscisas, de tal modo que una vez dibujada la frecuencias correspondiente a cada valor de la variante se une el extremo superior de cada una de las ordenadas.
La marca de clase o el punto medio de cada clase(PMC) se identifica a lo largo de todo el eje horizontal y el número de observaciones se enumera a lo largo del eje vertical.(f).
NOTA: Al primer elemento del PMC se le resta el AIC y al último elemento del PMC se le suma el AIC, esto con el fín de que el polígono se inicie en el origen y termine en el origen.
3. Ojiva:
La ojiva, o polígono de frecuencia acumulada, es un gráfico de líneas quebradas como el polígono de frecuencias, pero aquí termina la semejanza entre los dos.
La frontera superior de clase(FC) se coloca a lo largo del eje horizontal, mientras que la frecuencia Absoluta acumulada(F) se enumera a lo largo del eje vertical.
4. Diagrama circular:
Es un método de representación diagramática en el que los componentes de un único total pueden ser mostrados como sectores de un círculo. Los ángulos de los sectores son proporcionales a los componentes del total. Puede obtenerse una ayuda visual con colores o sombreándolos. También es conocido como gráfico circular.
5. Pictograma:
Es un método de representación visual de magnitudes estadísticas por medio de dibujos o pinturas de la materia sujeta a discusión. El método es restringido a la presentación de relaciones simples.
Es un medio de presentación gráfica que usan frecuentemente los economistas, pero que también tiene cierta importancia en otros campos de aplicación. Una presentación pictográfica compara magnitudes comparando objetos que tienen relación con la materia tratada. Por ejemplo, una unidad pictórica para representar el número de estudiantes de una unidad educativa podría ser fotos de varios estudiantes en un aula de clases, para representar tasas de natalidad, podría ser un bebé.

EJEMPLO 1
La tabla muestra el tiempo requerido, en días, para terminar auditorías de fin de año en una muestra de 20 clientes de empresa de pequeños bufetes de contadores públicos.

12 14 19 18
15 15 18 17
20 27 22 23
22 21 33 28
14 18 16 13
Se pide:
a) Construya la Tabla de Distribución de Frecuencia.
b)Haga los gráficos
e) ¿Cuántas auditorías hacen entre 16 y 25 días?
f) ¿Cuántas auditorías se hacen en menor o igual a 20 días?

SOLUCIÓN
Para Calcular el Número Deseado de Clases(NDC), utilizamos la fórmula de Sturges:
NDC = 1 + 3.3log(n)
NDC = 1 + 3.3log (20)
NDC = 5,29
NDC = 5

Amplitud del Intervalo de Clases = AIC
AIC= = Valor Mayor – Valor menor
Número Deseado de Clase(NDC)

AIC= 33 – 12
5
AIC= 4,20
AIC= 4

a) Construya la tabla de distribución de frecuencia
NDC IC FC PMC f F Fr Fra
1 11 15
10,5 – 15,5 13 6 6 0,30 0,30
2 16 20
15,5 – 20,5 18 7 13 0,35 0,65
3 21 25
20,5 – 25,5 23 4 17 0,20 0,85
4 26 30
25,5 – 30,5 28 2 19 0,10 0,95
5 31 35
30,5 – 35,5 33 1 20 0,05 1,00
n = 20

Ejemplo 2 De tabla de distribución de frecuencia
Supongamos que un investigador desea determinar cómo varían las estaturas de las obreras al tomar una muestra de 50 mujeres de la fuerza laboral de la URBE. Los datos obtenidos fueron los siguientes (en kg):

65 67 64 66 64 66 63 66 64 66
63 53 65 55 65 56 65 57 64 58
65 58 64 57 64 59 63 59 63 60
63 60 72 60 71 61 70 61 69 61
69 61 68 62 68 62 67 62 67 62

Se pide:
a) Construya la tabla de distribución de frecuencia
b) Haga las representaciones gráficas
1) Histograma de frecuencia
2) Polígono de frecuencia
3) Ojiva
4) Diagrama circular
5) Pictograma
c) ¿Cuántas personas pesan entre 60 y 63 kg?
d) ¿Cuántas personas pesan entre 76 y 79 kg?
e) ¿Cuál es el mayor porcentaje en peso kg?
f) ¿Cuál es el porcentaje de las personas que pesan entre 68 y 71 kg?
SOLUCIÓN
Para Calcular el Número Deseado de Clases(NDC), utilizamos la fórmula de Sturges:
NDC = 1 + 3.3log (n)
NDC = 1 + 3.3log (50)
NDC = 1 + 3.3 (1,70)
NDC = 1 + 5,61
NDC = 6,61 = 7
Amplitud del Intervalo de Clases = AIC
AIC= VMayor – Vmenor = Valor Mayor – Valor menor
NDC Número Deseado de Clase
AIC= Vmayor – Vmenor
NDC

AIC= 72 – 53 = 2,71 = 3
7
AIC= 3
a) Construya la tabla de distribución de frecuencia
NDC Intervalo
de Clase Frontera
de Clase Punto Medio de Clase Frecuencia
Absoluta(f) Frecuencia
Abs.Acum.
(F) Frecuencia
Relativa
(Fri) Frecuencia
Relativa
Acum.(Fra)
1 52 55
51,5 55,5
53,5 2 2 0.04 0,04
2 56 59
55,5 59,5
57,5 7 9 0,14 0,18
3 60 63
59,5 63,5
61,5 16 25 0,32 0,50
4 64 67
63,5 67,5
65,5 18 43 0,36 0,86
5 68 71
67,5 71,5
69,5 6 49 0,12 0,98
6 72 75
71,5 75,5
73,5 1 50 0,02 1,00
7 76 79
75,5 79,5
77,5 0 50 0,00 1,00
TOTAL 50

b) Haga las representaciones gráficas
a) Histograma de frecuencia
b) Polígono de frecuencia
c) Ojiva
d) Diagrama circular
e) Pictograma
c) ¿Cuántas personas pesan entre 60 y 63 kg?
d) ¿Cuántas personas pesan entre 76 y 79 kg?
e) ¿Cuál es el mayor porcentaje en peso kg?
f) ¿Cuál es el porcentaje de las personas que pesan entre 68 y 71 kg?

GUIA DE EJERCICIOS SOBRE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA Y DE MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN Y DE VARIABILIDAD

Ejemplo 1 De tabla de distribución de frecuencia
Una empresa de auditoría realizo un inventario sobre bicicletas de alta representación c.a., la misma se llevo a cabo a través se una muestra de sus registros de embarques para cierto día, con los resultados siguientes:
4 5 6 7
11 14 15 13
12 19 7 29
20 11 24 11
8 10 13 9

Se pide:
a) Construya la tabla de distribución de frecuencia
b) Haga las representaciones gráficas
a) Histograma de frecuencia
b) Polígono de frecuencia
c) Ojiva
d) Diagrama circular
e) Pictograma
c) ¿ Donde se aprecia una mejor efectividad para el procesamiento de las ordenes de pedido?
d) ¿Cuántos embarques se llevaron a cabo en un intervalo desde 15 hasta 32?

Ejemplo 2 De tabla de distribución de frecuencia
Las edades de un grupo de pacientes ingresados a la sala de traumatología de un hospital se detallan a continuación

10 12 8 40 6 8 10 30
16 20 25 28 30 26 30 4
13 17 21 7 6 8 14 7
10 14 6 8 9 11 13 15
12 6 5 5 6 8 7 12
Se pide:
a) Construya la tabla de distribución de frecuencia
b) Haga las representaciones gráficas
a) Histograma de frecuencia
b) Polígono de frecuencia
c) Ojiva
d) Diagrama circular
e) Pictograma
c) ¿Cuántos pacientes tienen edades comprendidas entre 10 y 30 años?
d) ¿Cuántos pacientes tienen edades menores a 17 años?
e)¿Cuál es el mayor de los porcentajes?

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARA DATOS NO AGRUPADOS, DNA)
Las medidas de tendencia central son:
a) Media Aritmética
b) Mediana
c) Moda Para DNA
a) Media Aritmética: La media aritmética o promedio aritmético, se define como la suma de los valores del grupo de datos divididos por el número de observaciones totales
Fórmula:
X = Media Aritmética muestral X = Σxi
n
µ = Media Aritmética Poblacional µ = Σxi
N
b) Mediana: La mediana de una colección de datos ordenados en orden de magnitud, es el valor medio o la media aritmética de los 2 valores medios. Y se denotará así, XM
c) Moda: La moda de unas series de números es aquel valor que se presenta con mayor frecuencia. La moda puede existir o no y si existe puede no ser única.
Ejemplos:
En los siguientes sistemas halle la;
a) Media Aritmética
b) Mediana
c) Moda

1) 16, 15, 12, 3, 16, 5, 10, 8, 9
2) 11, 22, 45, 66, 11, 33, 25, 54, 66, 17, 12, 15, 21, 34, 11, 68

1) 16, 15, 12, 3, 16, 5, 10, 8, 9

a) Media Aritmética X = Σxi = 16 +15 + 12 + 3 + 16 + 5 + 10+ 8 + 9
n 9

b) Mediana XM = 3 , 5 , 8 , 9 , 10, 12 . 15 , 16 , 16 IMPAR
XM = 10

c) Moda XModa = 16
EJEMPLO 2
2) 11, 22, 45, 66, 11, 33, 25, 54, 66, 17, 12, 15, 21, 34, 11, 68

a) Media Aritmetica
El valor de la media es:

= 31.94
b) Mediana (xm)
El valor de la mediana como el número de valores es par hay dos valores intermedios en las posiciones 8 y 9 es decir 22 y 25 luego el valor de la mediana es:

c) Moda (xmoda)
Y la moda es 11 por ser el valor que más se repite en la muestra.
5. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN(PARA DATOS NO AGRUPADOS)
Las medidas de Variabilidad o de dispersión para datos no agrupados son:
a) La varianza
b) La desviación Estándar Para DNA
6.1. VARIANZA
Es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio.
Varianza Muestral (S2)

Varianza Poblacional
σ2 = Σ(XI - µ)2
N
6.2. Desviación Estándar
Esta es una medida importante de variabilidad y se representa como la raíz cuadrada de la varianza
Desviación Estándar Muestral
S = ∑ (XI - X)2
n - 1
Desviación Estándar Poblacional
σ = Σ(XI - µ)2
N

EJEMPLOS:
1.- Halle la varianza, y la desviación estándar de una empresa con respecto a sus utilidades, las cuales fueron en los últimos 6 semestres: 100, 230, 210, 240, 235, 230
Solucion
Xi (xi – x)
(xi– x)2

100 -107,50 11.556,25
230
210
240
235
230
∑(xi – x)2 = 14.387,50
x = ∑ xi = 100 + 230 + 210 + 240 + 235 + 230
n 6
x = 207,50

Halle la varianza, y la desviación estándar
Varianza (S2)
= = S2 =

Desviación Estandar (S)

S = √ 2.877,50 = S = 53,64

2.- Halle la varianza y la desviación estándar de una empresa que presentan los valores siguientes : 11,22,45,66,11,33,25,54,66,17,12,15,21,34,11,68
3.- Halle la media aritmética, la mediana y la moda de la fila o línea 2 del ejemplo 1 (Obreras de urbe) y luego con la columna 1
4.- Halle la varianza y la desviación estándar del ejemplo anterior

DATOS AGRUPADOS
6.- MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL
1. Media aritmética
2. Mediana
3. Moda
Para datos agrupados
7. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN
1. Varianza muestral
2. Desviación estándar muestral
Para datos agrupados

6.- MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL(DATOS AGRUPADOS)
Las medidas de posición o tendencia central son:
1. Media aritmética
2. Mediana
3. Moda
1. Media aritmética: Cuando los datos han sido agrupados en una distribución de frecuencia, el Punto Medio de Clase(PMC), se utiliza como una aproximación a todos los valores contenidos en la clase:
Formulas
X = Media aritmética Muestral X = Σ (f. PMC)
n
µ = Media aritmética Poblacional µ = Σ (f. PMC)
N
Ejemplo:
A continuación en el cuadro siguiente, la empresa Castillo Soto presenta el salario semanal de sus trabajadores. Halle la Media Aritmética.
SALARIO
SEMANAL NÚMERO DE
OBREROS(f)
140 – 159 7
160 – 179 20
180 – 199 33
200 – 219 25
220 – 239 11
240 – 259 4
SOLUCIÓN
Se utiliza la fórmula de la Media Aritmética muestral, ya que se trata de una sola empresa.
X = Σ (f. PMC)
n
la fórmula nos indica que necesitamos agregar 2 columnas a la tabla dada.

SALARIO
SEMANAL
(IC) NÚMERODE
OBREROS
( f ) Punto Medio de Clase(PMC)
f . PMC
140 – 159 7 149,5 1046,50
160 – 179 20 169,5 3390,00
180 – 199 33 189,5 6253,50
200 – 219 25 209,5 5237,50
220 – 239 11 229,5 2524,50
240 -- 259 4 249,5 998,00
n = 100 Σ (f. PMC) = 19.450,00

X = Σ (f. PMC) = 19.450,00
n 100
2. Mediana: La clase que contiene la mediana es la primera clase para la cual la frecuencia acumulada “iguala o excede” la mitad del número total de observaciones. Una vez identificada esta clase se calcula la mediana por la siguiente fórmula:

Donde:
n = Número de observaciones totales
Fi= Frontera inferior de clase que contiene a la mediana
Facu.ant. = frecuencia acumulada anteriores a la clase en donde se encuentra la mediana
= Número de observaciones de la clase en donde se encuentra la mediana
i = amplitud
i = LS-LI
NDC
LS = límite superior de la clase que contiene a la mediana
LI = límite inferior de la clase que contiene a la mediana
NDC = Número Deseado de Clase
Ejemplo:
A continuación en el cuadro siguiente, la empresa Castillo Soto presenta el salario semanal de sus trabajadores. Halle la Mediana.
SALARIO
SEMANAL NÚMERO DE
OBREROS
140 – 159 7
160 – 179 20
180 – 199 33
200 – 219 25
220 – 239 11
240 -- 259 4

SOLUCIÓN

La fórmula nos indica que necesitamos agregar 1 columnas a la tabla dada.
SALARIO
SEMANAL
(IC) NÚMERODE
OBREROS
( f )
F
140 – 159 7 7
160 – 179 20 27
180 – 199 33
60
200 – 219 25 85
220 – 239 11 96
240 -- 259 4
100
N = 100
2
Fi= 179,50
Facu.ant. = 27
= 33
i = amplitud
i = LS-LI = 259 – 140 = 19,83 i = 20
NDC 6
NDC = Número Deseado de Clase
LS = límite superior de la clase que contiene a la mediana
LI = límite inferior de la clase que contiene a la mediana
n = 100

3. Moda: La moda se identifica con el número mayor de observaciones y se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:
Fi = límite inferior de la clase que contiene a la moda
d1 =La frecuencia mayor menos la anterior
d2 = La frecuencia mayor menos la que sigue
i = amplitud
i = LS – LI
NDC
NDC = Número Deseado de Clase
LS = límite superior de la clase que contiene a la moda
LI = límite inferior de la clase que contiene a la moda
Ejemplo:
A continuación en el cuadro siguiente, la empresa Castillo Soto presenta el salario semanal de sus trabajadores. Halle la Moda.

SALARIO
SEMANAL NÚMERO DE
OBREROS
140 – 159 7
160 – 179 20
180 – 199 33
200 – 219 25
220 – 239 11
240 -- 259 4
SOLUCIÓN

Fi = 179,50
d1 =
d2 =
i = amplitud
i = LS – LI = 20
NDC
NDC = Número Deseado de Clase
LS = límite superior de la clase que contiene a la moda
LI = límite inferior de la clase que contiene a la moda

EJERCICIOS
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Halle las medidas de tendencia central.

Meses Niños
9 – 11 1
12 - 14 4
15 - 17 9
18 - 20 16
21 - 23 11
24 - 26 8
27 - 29 1
7. MEDIDAS DE VARIABILIDAD O DE DISPERSIÓN
1. Varianza
2. Desviación estándar
Para datos agrupados
1. Varianza muestral

Varianza poblaciona
σ2

2. Desviación estándar muestral

Desviación estándar poblacional
σ
EJEMPLO:
Calcular la Varianza y la Desviación Estándar de las edades de la población de una aldea mostrada en la tabla:
EDAD DE LA
POBLACIÓN (IC)
HABITANTES
(f)
0 – 20 9
21 – 41 18
42 – 62 7
63 – 83 26
84 -- 104 4

SOLUCIÓN

Se utiliza la Varianza muestral, ya que solo se habla de una aldea y no de todas las aldeas.

Nos apoyaremos en el siguiente cuadro para facilitar el cálculo
EDAD DE LA
POBLACIÓN (IC)
HABITANTES
(f)
PMC
(Xi)

f. PMC

(Xi – X)

(Xi – X)2

f(Xi – X)2

0 – 20 9 10 90 -41,34 1709,00 15381
21 – 41 18 31 558 -20,34 413,72 7446,96
42 – 62 7 52 364 0.66 0,44 3,08
63 – 83 26 73 1898 21,66 469,16 12198,16
84 – 104 4 94 376 42,66 1819,88 7279,52
n = 64 Σ (f. PMC) = 3.286

X = Σ (f. PMC) = 3.286
n 64
VARIANZA

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

PROBABILIDADES
1. Probabilidades: Es la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1, de que ocurra un evento.
2. Eventos: Es una colección de resultados relacionados entre si de un experimento aleatorio, es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos pueden ser dependientes, independientes o mutuamente excluyentes.
3 AXIOMAS DE PROBABILIDAD
La probabilidad es un número que se asigna a cada miembro de una colección
de eventos de un experimento aleatorio y que satisface las siguientes
propiedades:
Si S es el espacio muestral y E cualquier evento del experimento aleatorio,
a) P(S) = 1
b) 0  P(E)  1
c) Para los eventos E1 y E2 con E1E2 =  y P(E1U E2) = P(E1)+P( E2)
De estos axiomas se infieren los siguientes resultados:
P() = 0 ; P(E’) = 1 – P(E)
4. Axiomas
1. Teorema de la Adición
2. Teorema de la probabilidad Condicional
3. Complemento
4. Teorema de bayes

1. REGLAS DE ADICIÓN
Una regla básica de adición importante es la siguiente:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Y si los eventos son mutuamente excluyentes P(AB) =  luego:
P(AUB) = P(A) + P(B)
2. PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional puede expresarse como la probabilidad de un evento A dado un evento B y se expresa como:
P(A/B) = P(AB)
P(B)
P(B/A) = P(BA)
P(A)
3. COMPLEMENTO
P (A´) = 1 - P (A) =
P (B´) = 1 - P (B) =
4. REGLA O TEOREMA DE BAYES:
En algunas ocasiones se desea calcular una probabilidad condicional y se conoce la de otra, el teorema o regla de Bayes nos permite relacionar estas probabilidades de la forma siguiente:

Estudiemos ahora algunos ejemplos que clarificarán lo antes expuesto:

En este ejemplo sea A el evento leche comercial con contaminación alta y sea B el evento leche comercial sometida a Proceso UHT.
Halle:
1) P (A)
2) P (B)
3) P (A ∩B)
4) P (A UB)
5) P (A´)
6) P (B´)
7) P (A´ ∩B)
8) P (A ∩B´)
9) P (A/B)
10) P (B/A) (Teorema de Bayes)

El espacio muestral es: S = 10 + 50 + 240 + 200 ===> S = 500 por tanto:
1.- P(A) = (10 + 50) ===> P(A) = 0.12
500
2.- P(B) = (10 + 240)===> P(B) = 0.5
500
3.- P(AB) = 10 ===> P(AB) = 0.02
500
4.-. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) P(AUB) = 0.12 + 0,5 – 0.02 ===> P(AUB) = 0,60
5.- P (A´) = 1 - P (A) = 1- 0,12 = 0,88
6.- P (B´) = 1 - P (B) = 1- 0,5 = 0,50
7.- P (A´ ∩B) = 240 = 0,48
500
8.- P (A ∩B´) = 50 = 0,10
500

9.- P (A/B) = P(AB) = 0,02 = 0,04
P(B) 0,50
10.- P (B/A) = P (A/B). P(B) = (0,04)(0,50) = 0,17
P(A) 0,12

Ejemplo N° 1
Pelo castaño Pelo no castaño
Ojos castaños 15 10
Ojos no castaños 25 50
A: Pelo Castaño
B: Ojos no Castaños
Se pide:
1. P(A)
2. P(B)
3. P(A’)
4. P(B’)
5. P(A∩B)
6. P(AUB)
7. P(A∩B’)
8. P(B∩A’)
9. P(A/B)
10. P(B/A) TEOREMA DE BAYES

Ejemplo N° 2
Un club nocturno tiene los siguientes datos sobre la edad y el estado civil de ciertos clientes
SOLTERO CASADO
Menor de 30 288 36
30 o más 672 204

A: Clientes con estado civil solteros
B: Clientes con 30 años ó más
Se pide:
1.-P(A)
2.-P(B)
3.-P(A’)
4.-P(B’)
5.-P(A∩B)
6.-P(AUB)
7.-P(A∩B’)
8.-P(B∩A’)
9.-P(A/B)
10.-P(B/A) TEOREMA DE BAYES

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un artículo publicado en un diario internacional describe las cuentas por pagar de una empresa manufacturera que arrojan los siguientes datos, calcular:

79 100 74 83 81 85 82 80 84

a) Media Aritmética
b) Mediana
c) Moda
d) Cuartiles
e) Percentiles
f) Varianza
g) Desviación Estándar
h) Coeficiente de variación
2.- Se toman 8 cuentas las cuales son: 74, 76., 70., 78., 70., 73., 75. y 79, calcular:
a) Media Aritmética
b) Mediana
c) Moda
d) Cuartiles
e) Percentiles
f) Varianza
g) Desviación Estándar
h) Coeficiente de variación

3.- En una escuela de contabilidad se obtienen los siguientes tiempos de respuesta para 20 experimentos para saber que empresas se van a auditar:

5.3 5.8 10.0 11.2 3.9
5.0 6.2 12.2 7.9 8.1
9.5 5.9 8.5 6.4 9.2
10.1 7.2 5.7 12.4 11.5

a) Media Aritmética
b) Mediana
c) Moda
d) Cuartiles
e) Percentiles
f) Varianza
g) Desviación Estándar
h) Coeficiente de variación

4.- Construya la tabla de distribución de frecuencia con sus correspondientes gráficos a estos 35 datos de una empresa comercial

1120 1520 1223 1060 180
1300 1890 475 1530 1020
1540 1215 2260 1790 1330
1500 1280 1935 1000 1680
1016 2100 900 1501 1238
1730 1594 1102 1020 1746
1608 2130 760 1424 1109
.

5.- Los siguientes son datos son de una auditoria de una empresa x

84 58 68 67 53 31
49 80 60 52 67 58
61 69 67 78 75 76
40 70 72 70 61 75
83 66 73 63 70 79
67 45 70 57 81 76

a) Construya la tabla de distribución de frecuencia y sus respectivos gráficos
b) Halle las medidas de localización y de variabilidad de la línea 3
c) Halle las medidas de localización y de variabilidad para datos agrupados

6. En los problemas del 1 al 5. Halle la varianza y la desviación estándar

FORMULARIO DEL PRIMER CORTE
Para Calcular el Número Deseado de Clases (NDC), utilizamos la fórmula de Sturges:
NDC = 1 + 3.3log(n)
Amplitud del Intervalo de Clases = AIC
AIC= VMayor – Vmenor = Valor Mayor – Valor menor
NDC Número Deseado de Clase

DATOS NO AGRUPADOS
X = Media Aritmética muestral X = Σxi
n
µ = Media Aritmética Poblacional µ = Σxi
N
Varianza Muestral (S2)

Varianza Poblacional
σ2 = Σ(XI - µ)2
N
Desviación Estándar Muestral
S = ∑ (XI - X)2
n - 1
Desviación Estándar Poblacional
σ = Σ(XI - µ)2
N

DATOS AGRUPADOS
MEDIA
µ = Media aritmética Poblacional µ = Σ (f. PMC)
N
X = Media aritmética Muestral X = Σ (f. PMC)

n
MEDIANA

MODA

REGLA DE LA ADICIÓN
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
P(A/B) = P(AB) / P(B)
TEOREMA DE BAYES

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