Otra herramienta que permite tomar decisiones sobre la rentabilidad en los títulos valores lo constituye la Tasa Interna de Retorno (TIR).

La TIR es aquella tasa de rendimiento que hace cero el Valor Presente Neto, esto es:

El VPN = f(tasa de interés) = VPN(i^*) = 0 = VPN(TIR) = 0

En las próximas notas se dan más detalles al respecto.

VPN = -R₀ + R₁/(1+i) + R₂/(1+i)² + . . . + (R_n+R₀)/(1+i)ⁿ

R₁ R₂ R_{3 ... ..} R_n + R₀

. . . . . . . . . . . ............................................

-R₀

Mediante la actualización del diagrama anterior

El VPN(i^*) = 0 donde i^* es la TIR.

VPN(i^*) = -R₀ + R₁/(1+i^*) + R₂/(1+i^*)² + . . . (R_n + R₀)/(1+i^*)ⁿ y

VPN(i^*) = 0

Si multiplicamos por (1+i)ⁿ toda la ecuación anterior tendremos:

-R₀*(1+i)ⁿ + R₁*(1+i)^n-1 + R₂*(1+i)^n-2 + . . .+ (R_n + R₀) = 0

Tenemos un polinomio de grado n por resolver y la variable es (1+i). Esta ecuación se replantea considerando 1 + i = X :

esto es:

R₀*Xⁿ - R₁*X^n-1 - R₂*X^n-2 - ......- (R_n + R₀) = 0

Al resolver este polinomio para X = 1+i^* se

obtiene la tasa i^* = X - 1 > 0 que hace que se satisfaga la relacion fundamental anterior

Vale mencionar que el teorema fundamental del álgebra, garantiza la solución para polinomios con números reales o números complejos; sin embargo aquí nos interesa que la solución i^* sea positiva, esto es, que el polinomio descrito en la ecuación fundamental solo tenga una solución real positiva, y las demás puedan ser raíces complejas en caso que el polinomio sea de orden impar; si el polinomio es de orden par y existe una solución real positiva esta debe ser de multiplicidad 2 ( ó 4, 6, 8, etc, ) y las demás soluciones complejas.

Sin embargo en los flujos que generan los títulos-valores, por ser el primero negativo, y los restantes positivos, garantizan la existencia de una única solución real i^* = X - 1 > 0 (positiva).

En el gráfico 1 tenemos que la TIR no existe sin embargo este tipo de negocio sismpre será rentable, una evaluación de rentabilidad se obtiene por medio del VPN o relación beneficio costo.

El segundo gráfico refleja flujos positivos y negativos y la TIR no existe, sin embargo por medio de el VPN se puede evaluar la rentabilidad reduciendo gastos o incrementando los ingresos.

En el tercer gráfico la TIR existe y para determinar su rentabilidad se requiere que la TIR sea la tasa mas alta que cualquier tasa de interés del mercado financiero. Es decir:

Si i es la tasa de interés local, i^* es la TIR tenemos lo siguiente:

a. i^* > i significa que la inversión en el título-valor es rentable;

b. i^* = i es indiferente invertir en el título-valor;

c. i^* < i la inversión no es rentable.

Jose Salomon Perdomo Mejia

Rector del CIMES (Centro de Investigaciones Matematicas Economicas y Sociales)

Rector del IICES (Instituto de Investigacion Cientifica y Educacion Superior)

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