La Logica Matematica o filosofia matematica junto a la "teoria de conjuntos" es la base central del razonamiento matematico y su analisis. Este es un curso de nivelacion sobre el razonamiento formal de la matematica para el entendimiento de las formas de demostrar y razonar cualquier estructura matematica, sin la logica formal los cursos aplicados se convierten en asignaturas de memoria que el estudiante repite, repite sin entender, y tambien los profesores de matematica sin el entendimiento de la logica se convierten en simples repitentes de sus asignaturas fomentando de manera inconciente el uso de la memoria en extremo.
En el sentido anterior este el el primer curso de matematica para las carreras tecnicas de "ECONOMIA Y FINANZAS", "ESTADISTICA APLICADA", "MODELOS EN DECISIONES GERENCIALES", "INGENIERIA INDUSTRIAL", e "INVESTIGACION CIENTIFICA"

TABLA DE CONTENIDO DE
“LOGICA MATEMATICA, ALGEBRA DE CONJUNTOS Y NUMEROS”

A. INTRODUCCION

B. CONECTORES LOGICOS Y TABLAS DE VERDAD

C. ENUNCIADOS CONDICIONALES

D. TAUTOLOGIA Y LA CONTRADICCION

E. ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

E.1 CIRCUITOS LOGICOS O BOOLEANOS

E.2 FUNCIONES PROPOSICIONALES

F. ALGEBRA DE CONJUNTOS Y LOGICA

G. SISTEMAS NUMERICOS

H. EL SISTEMA DECIMAL Y EL SISTEMA BINARIO

I. CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES

J. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

J.1 OPERACIONES CON LOS ENTEROS

J.2 POTENCIACION DE ENTEROS

K. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

K.1 OPERACIONES CON FRACCIONES

K.2 RACIONALES Y DECIMALES PERIODICOS

L. LOS RADICALES Y LOS IRRACIONALES

M. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

N. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

O. VIDEOS DE ALGEBRA DE PROPOSICIONES Y ALGEBRA DE BOOLE

P. VIDEOS DE CONJUNTOS Y NUMEROS

Q. VIDEOS DE NUMEROS NATURALES Y ENTEROS

R. VIDEOS DE CONJUNTOS Y NUMEROS

S. VIDEOS DE DESPEJE DE VARIABLES EN ECUACIONES

T. VIDEOS DE ECUACIONES RACIONALES

U. VIDEOS DE NUMEROS DECIMALES

V. VIDEOS DE NUMEROS RACIONALES

W. Videos de NUMEROS RACIONALES E IRRA

X. VIDEOS DE TEORIA DE CONJUNTOS
A INTRODUCCION

Esta es la tercera edición de “LOGICA Y SISTEMAS NUMERICOS” con recursos del IICES e CIMES. En esta edición se amplía la historia del origen y fortalecimiento de la lógica matemática, se hace mayor abstracción de la simbología de la Lógica, se mejora el modulo sobre la transformación de un sistema binario al sistema decimal y viceversa. Además se amplían los números naturales sobre los comentarios de los axiomas de Peano y el principio de inducción matemática, en la teoría de conjuntos se hace una mejor interrelación entre la lógica y las operaciones entre conjuntos ampliándose los conceptos de los cuantificadores se mejora los análisis sobre el conjunto de los números racionales e irracionales y los números reales y se le añade los aspectos generales de los números complejos.

La lógica matemática, o teoría del algebra de proposiciones se constituye en un lenguaje que permite la construcción matemática de la teoría de conjuntos generalizada en sus diversas aplicaciones. Proporciona además las bases del análisis matemático y topológico en las diversas demostraciones de teoremas y corolarios proporcionando estructuras analíticas y cientificas para las ciencias sociales y exactas.

A nivel de la programación de computadoras, el algebra de proposiciones y el algebra de conjuntos proporciona las bases del álgebra de boole que permite la estructuración de la programación de computadoras. Otra aplicación de la lógica matemática y teoría de conjuntos en lo referido al algebra booleana radica en las aplicaciones en el algebra de los circuitos electrónicos.

La simbología de la filosofía matemática dentro de la teoría de conjuntos proporciona las bases de la estadística en sus aplicaciones de la teoría del muestreo, el control estadístico de la calidad y teoría de la toma de decisiones en base a modelos de predicción.

El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano y científico.

Lo importante del tema es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica matemática la encargada del estudio del algebra de proposiciones que proporciona la base de las construcciones de los argumentos validos y estructuras lógicas equivalentes. Hoy en día, la lógica proposicional, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática. Además, aprender matemática, física y química "es muy difícil"; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real". Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lógica matemática ", él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva . Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.
En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.
Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
En el sentido antes descrito, en la parte B el libro contiene los fundamentos de la logica matemática: proposiciones y tablas de verdad, los conectores lógicos, las leyes de la logica de proposiciones, los circuitos booleanos, las funciones proposicionales y cuantificadores, argumentos e implicación lógica.

En la parte C se cubre la teoría de conjuntos: definición de conjuntos, operaciones de conjuntos, relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional. En la parte D cubrimos los sistema numéricos: introducción a la numeración, en la parte E estudiamos el sistema binario y el sistema decimal, en la parte F analizamos el conjunto de los números naturales, sus propiedades y representación en la recta numérica, en la parte G cubrimos el conjunto de los números enteros y sus propiedades y representación grafica en la recta. Los números racionales, los decimales periódicos, sus propiedades y representación en la recta numérica. En la parte J estudiamos los números irracionales o decimales no periodicos. Los números reales y sus propiedades, valor absoluto y sus propiedades, los intervalos y los sistemas de desigualdades los estudiamos en la parte K. Los números complejos y sus propiedades los cubrimos en la parte L. La bibliografía del IICES e IIMES en parte M.

Agradecemos a Dios Padre nuestro Creador, por habernos permitido la elaboración de los 35 libros del IICES e IIMES, pidiéndole nos de la oportunidad de elaborar o escribir otras libros de matemática, economía y finanzas.

I ORIGEN DE LA LOGICA MATEMATICA Y SU FORTALECIMIENTO

El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.

Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

Euclides matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

La obra de Apolonio de Perga sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana.

La ciencia matemática ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500dC al 1800 dC.

René Descartes filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

Isacc Newton 1642-1727. Se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural (1686).

Gottfried W. Leibniz filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici .

Georg Wilhelm Friedrich Hegel Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de la lógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

Nikolai I. Lobachevsky matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real.